MATLAB 矩阵（一）

2018-03-03

概述

本次内容涉及 MATLAB 中的矩阵，这是我们使用 MATLAB 处理数据的基本元素，学习本节的内容可以掌握基本的如何处理矩阵。

本次的内容几乎都可以凭借线性代数的了解来学习，代码块中的代码可以复制粘贴到 MATLAB 中运行，或者将一个代码块复制到一个新文件选择单步运行（step run），在该命令下每次只执行一个语句，逐个观察输出即可。部分函数的用法很多不能穷举，举出来的函数一般来说足够使用，读者在使用之前也可以先调用 help 命令查看该函数的其他用法。

创建矩阵

在上一节中，我们认识了 MATLAB 的基本操作，其中一种定义变量的方法为直接赋值如：a=1，事实上，这种操作的本质上就是定义了一个最简单的 1×1 的矩阵（这一现象可以在 workspace 中观察到）。
一个矩阵的基本形式可以表达为以下形式

% 两种形式是完全等价的，但是更推荐使用第一种形式。
[1,2,3,4;-5,6,7,8] 
[1 2 3 4;-5 6 7 8]  
% 个人推荐第一种表达形式的原因：
[1,2,3,4;-5,-6,-7,8] % 正确
[1 2 3 4;-5 -6 -7 8] % 正确
[1 2 3 4;- 5 -6 -7 8] % 正确
% [1 2 3 4;- 5 - 6 -7 8] % 错误，这样的表示会让计算机误判为（-5-6）是一个变量

其中，上述矩阵为行数为 2，列数为 4 的矩阵，一个 MATLAB 矩阵遵循以下原则；

矩阵的元素以方括号包含；
同一行不同列以逗号分隔；
同一列不同行以分号分隔；
每行（或者每列）必须有相同数量的元素；
矩阵元素可以是数值（不区分整数，浮点数和复数）或者字符串之一。

1.直接创建

一般来说可以使用直接赋值的思路直接创建，如下所示：

% 创建一维行向量（行矩阵）;
a = [1,2,3,4];
% 创建一维列向量（列矩阵）;
b = [1;2;3;4];
% 创建二维矩阵;
c = [4,6,-6;2,-3,0;-9,5,7];
% 矩阵元素可以是表达式
d = [1+2,3 * 4,5];
% 矩阵可以为字符矩阵(不是字符串矩阵)
str = ['hello world']; % 单行字符矩阵
str1 = ['hello',' ','world']; % 单行字符矩阵
% str2 = ['hello'; ' ';'world'];% 报错！每一行字符数量不等长。
%矩阵的一些特殊值
e = [eps,inf,-inf,nan,pi,i,j];
% eps 绝对值最小的浮点数（机器所能表示的最小分度）；
% inf 正无穷大 1/0；
% -inf 负无穷大 -1/0；
% nan(或者 NaN) 无意义的数（Not a Number）0/0；
% pi 圆周率 π 的值
% i 虚数单位
% j 还是虚数单位（EE 工程师专用版本）
% 绝对不要用以上的名字作为变量名！
% 绝对不要用以上的名字作为变量名！
% 绝对不要用以上的名字作为变量名！

事实上，这种直接赋值的方法实在过于费时费力，我们通常还会使用另一种方法：用冒号运算符创建等差数列(a:b:c)

1:2:10 % (a:b:c)中 a 为等差数列首项的值，b 为公差，c 为区间限，数列储存为行向量；
1:10 % b = 1时，b 可以省略；
10:-2:1 % 公差也可以是负数；
1:-2:10 % 等差数列找不到区间限 c 时（或者 b=0），会返回空矩阵；
2.^(1:5) % 加上指数操作就成了等比数列

2.调用函数

MATLAB 的库函数中含有很多快速创建矩阵的函数，常见的有：ones，zeros，eye，rand，magic，true，false，这里逐项给出说明：

ones 函数

1
2
3

ones(n); % 创建 n×n 的方阵，每个元素的值都为 1；
ones(m,n); % 创建 m×n 的矩阵，每个元素的值都为 1；
ones(k,m,n); % 创建 k×m×n 的三维矩阵，每个元素的值都为 1；

zeros 函数

1
2
3

zeros(n); % 创建 n×n 的方阵，每个元素的值都为 0；
zeros(m,n); % 创建 m×n 的矩阵，每个元素的值都为 0；
zeros(k,m,n); % 创建 k×m×n 的三维矩阵，每个元素的值都为 0；

eye 函数

1	eye(n); % 创建 n×n 的单位阵，即正对角线上的每个元素的值都为 1；

rand 函数

1
2
3

rand(n); % 创建 n×n 的方阵，元素的值服从区间 0-1 的均匀随机分布；
rand(m,n); % 创建 m×n 的矩阵，元素的值服从区间 0-1 的均匀随机分布；
rand(k,m,n); % 创建 k×m×n 的三维矩阵，元素的值服从区间 0-1 的均匀随机分布；

randn 函数

% randn函数只是 rand 的变体，元素服从标准正态分布。
randn(n); % 创建 n×n 的方阵，元素的值服从标准正态分布；
randn(m,n); % 创建 m×n 的矩阵，元素的值服从标准正态分布；
randn(k,m,n); % 创建 k×m×n 的三维矩阵，元素的值服从标准正态分布；

magic 函数

1	magic(n); % 创建 n×n 的方阵，该方阵满足每行每列对角线和相等；

true 函数

1	true(n); % 创建 n×n 的逻辑方阵，该方阵所有元素都是 true；

false 函数

1	false(n); % 创建 n×n 的逻辑方阵，该方阵所有元素都是 true；

这里还有另一类生成函数，能快速生成一维矩阵：linspace，logspace 等。
linspace 函数

linspace(x1,x2); % 直接将区间 x1-x2 划分为 100 个线性等分的点，返回间隔点向量；
linspace(x1,x2,n); % 直接将区间 x1-x2 划分为 n 个线性等分的点，返回间隔点向量；
% 这里补充一点，你可能觉得之前的基于冒号操作符（:）创建等差数列的方法也可以产生一样的结果
% 但是二者是有本质区别的。
% linspace 产生的结果是必然以 x2 作为最后一个变量，它实现的是区间的等分，并且 x1,x2 都可以是复数
% 冒号操作符仅能从一端以公差检索，不能确保包含 x2；此外，x1 和 x2 都必须是实数。
% 你也可以处于好奇尝试一下：n = 1;n <= 0;n 不是整数的情况，看看 linspace 的返回值。

logspace 函数

logspace(x1,x2); % 直接将区间 x1-x2 划分为 100 个对数间隔的点，返回间隔点向量；
logspace(x1,x2,n); % 直接将区间 x1-x2 划分为 n 个对数间隔的点，返回间隔点向量；
% 感觉吧，就是linspace的兄弟函数，x1 和 x2 都可以是复数
% 你也可以处于好奇尝试一下：n = 1;n <= 0;n 不是整数的情况

运算符

比较走运的是，MATLAB 中运算符的优先级和一般的数理知识并不冲突，运算符和变量不要求强制的空格，「我加空格纯粹为了美观，当然取负号时最好不要加空格」，因此只需要认识 MATLAB 的一些运算符，就可以比较容易的上手矩阵运算。矩阵的运算这一部分的内容与线性代数的内容一致，已经有线性代数基础的应该容易理解，没有线性代数的基础的同学建议单步执行以下命令，仔细观察结果的变化，熟悉这些运算符的作用。
运算符操作总体上分为两类：数组运算符和矩阵运算符。

1.数组运算符

数组运算符可以理解为针对矩阵元素的运算，与矩阵本身的性质无关，也是逐个的运算。

%% 数组运算符
% 测试样例
a = [2,3,-4;6,7,8] % 2×3 的矩阵
b = [1,2,-1;2,1,1] % 2×3 的矩阵

% 一元加运算符（+）相当于数学上的正号
+a % 相当于数学上的正号，鸡肋无疑，实际上并没有什么作用。

% 一元减运算符（-）相当于数学上的正号
-a % 相当于数学上的取负号，返回相反数。

% 二元加运算符（+）和减运算符（-）的规则与线性代数一致;
% 这一类的二元运算符存在三种情况：标量 + 标量，矩阵 + 标量，矩阵 + 矩阵
a + 1 % 矩阵 + 标量的结果，矩阵中每个值都加上该标量；
a + b % 矩阵 + 矩阵的结果，矩阵中每个值都加上该标量；
% a + [1,0;0,1] % 此时语句报错，矩阵 + 矩阵运算时，必须要求矩阵的维度匹配（行列数量一致）；

% 逐元素乘运算符（.*）是逐元素操作的，也就是对应矩阵元素位置的相乘
a .* 2 % 矩阵 .* 标量的结果，矩阵中每个值都加上该标量；
a .* b % 两个矩阵对应位置的元素相乘，要求矩阵的维度匹配（行列数量一致）；

% 逐元素乘方运算符（.^）是逐元素操作的，也就是对应矩阵元素位置的乘方
a .^ 2 % 矩阵 .^ 标量的结果，矩阵中每个值都为对应位置元素的标量次幂；
2 .^ a % 标量 .^ 矩阵的结果，矩阵中每个值都为以该标量为底，以对应位置元素为指数的值；
a .^ b % 两个矩阵对应位置的元素相乘，要求矩阵的维度匹配（行列数量一致）；

% 逐元素右除运算符（./）是逐元素操作的，也就是对应矩阵元素位置的右除
a ./ 2 % 矩阵 ./ 标量返回一个商矩阵，矩阵元素为被除数，该标量为除数；
2 ./ a % 标量 ./ 矩阵返回一个商矩阵，该标量为被除数，矩阵元素为除数；
a ./ b % 矩阵 .\ 矩阵返回一个商矩阵，左矩阵元素为被除数，右矩阵元素为除数
% 这时要求矩阵的维度匹配（行列数量一致）；

% 逐元素左除运算符（.\）是逐元素操作的，也就是对应矩阵元素位置的左除
a .\ 2 % 矩阵 .\ 标量返回一个商矩阵，矩阵元素为除数，该标量为被除数；
2 .\ a % 矩阵 .\ 标量返回一个商矩阵，该标量为除数，矩阵元素为被除数；
a .\ b % 矩阵 .\ 矩阵返回一个商矩阵，左矩阵元素为除数，右矩阵元素为被除数
% 这时要求矩阵的维度匹配（行列数量一致）；

% 提醒：左除右除运算符的区别只要记住斜杠上的是分子，斜杠下的为分母即可。

% 数组转置（.'），行列交换得到转置矩阵
a.' % 返回矩阵的数组转置，相当于矩阵的行和列互换，得到新的矩阵；

2.矩阵运算符

%% 矩阵运算符
% 测试样例
a = [2,3,-4;6,7,8] % 2×3的矩阵
b = [0,1,-5,3;2,-3,5,5;-1,4,2,3] % 3×4的矩阵
c = [1;2]

% 矩阵乘法运算符（*） 矩阵相乘得到线性代数上的矩阵乘积，
a * 2 % 矩阵 * 标量的结果，矩阵中每个值都加上该标量；
a * b % 满足矩阵相乘的规则，要求矩阵的维度匹配（左矩阵列 = 右矩阵行）；

% 矩阵乘方运算符（^）矩阵必须为方阵(或者标量)，
[0,1;2,0] ^ 2  % 矩阵 .^ 标量，方阵的标量次幂；
2 .* [0,1;2,0] % 标量 .^ 矩阵基于特征值和特征向量求解，线性代数内容（个人目前还没用过）；

% 矩阵左除运算符（\）矩阵左除（线性代数没有这玩意）
% 注解：线性方程组如果可以表示为 A*x=B，那么解方程组时就应该在两式用 A 的逆阵（暂且叫做 Ai）左乘，这时式子化为 x=Ai*B，矩阵左除运算结果 A\B=Ai*B。同理可以推演右除
a \ c % 矩阵\矩阵相当于解线性方程组 a*x=c

% 矩阵右除运算符（/）矩阵右除
a \ c % 矩阵\矩阵相当于解线性方程组x*a=c

% 共轭转置（'），针对与矩阵而言，行列交换并求共轭得到共轭转置矩阵
a' % 返回矩阵的共轭转置，相当于矩阵的行和列互换再求共轭，得到新的矩阵;
% 但是由于一般都是操作实数，取共轭不会有影响，平时更常用（'）而不使用（.'）；

小结

本次的内容几乎都只要复制粘贴到 MATLAB 中执行即可，几乎只需要观察即可。生成函数很多不需要死记，函数名几乎可以直译，开始用几次就可以无压力记住（即使记错了某个字母，MATLAB 也会提示正确的名字）。